NÚMEROS MESOPOTÂMICOS
INTRODUÇÃO
A Matemática como a concebemos nos dias atuais foi fruto de uma demorada e grande evolução, desde a época primitiva, passando por todas as grandes civilizações do passado até chegar à complexidade do mundo mercantilista e globalizado que conhecemos. O trabalho tem como objetivo evidenciar que a matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia entre os anos de 2800 a 1880 a.C. serve como base lógica e consistentes às necessidades de todas as culturas posteriores, demonstrando, assim, sua grande importância histórica.
Contexto Histórico:
Por volta de 3 500 a.C., vindos provavelmente da Ásia Central, os sumérios fixaram-se na Baixa Mesopotâmia – junto aos rios Tigre e Eufrates – fundindo-se étnica e culturalmente com a população local. As civilizações antigas da Mesopotâmia são comumente chamadas de babilônicas, apesar de que a cidade de Babilônia não foi o centro de cultura do vale Mesopotâmico.
A região sofreu diversas invasões de outros povos, mas que ao invés de interferirem negativamente em sua cultura, ao contrário aprenderam e adotaram muitos conhecimentos dos mesopotâmicos.
Indiscutivelmente, a principal contribuição que os mesopotâmicos realizaram para o desenvolvimento do conhecimento foi à invenção de um tipo de escrita, a qual era feita por estiletes em uma placa de argila mole que depois secavam ao sol. Tais letras tinham a forma de cunha e, por isso, foram chamadas de cuneiforme. Esta escrita talvez tenha surgido até mesmo antes da hieroglífica dos egípcios. O fato é que as cerâmicas, tabuletas, com escrita cuneiforme fornecem muito mais informação dos que os papiros egípcios devido a sua conservação.
O surgimento da escrita justificou-se pelo crescimento das economias centralizadas, quando os funcionários dos palácios e templos sentiram a necessidade de manter o controle das quantidades de cereais e dos rebanhos de carneiros e gado que entravam e saíam dos celeiros e fazendas. Era impossível depender apenas da memória de um homem para armazenar todas as transações realizadas, além da necessidade de se transmitir os fatos a outros sacerdotes quando houvesse o falecimento de quem controlava essas operações, assim, tornou-se indispensável à criação de novos métodos que mantivessem registros confiáveis e permanentes.
A ciência e, por conseqüência, a matemática mesopotâmica teve um grande desenvolvimento por parte dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilização. Assim como a matemática Egípcia, esta civilização teve uma matemática e/ou ciência extremamente prática com o objetivo de facilitar o cálculo do calendário, a administração das colheitas, organização de obras públicas e a cobrança de impostos, bem como seus registros. Mas, mesmo assim, há alguns indícios de abstração e de matemática por recreação.
Contexto Matemático
Ao contrário da maioria das civilizações o sistema numérico mesopotâmico tinha como base o valor sessenta. Acredita-se que o sistema de base sessenta tenha sido usado por ser possível sua subdivisão em metades, quartos, quintos, sextos, décimos, etc… até dez divisões são possíveis.
O sistema sexagesimal teve sua origem na astronomia, especificamente, na contagem do tempo, ou melhor na divisão do tempo em horas, minutos e segundos. No qual 1 (uma) hora equivale a 60 minutos. Até hoje, o sucesso desse sistema se reflete em nossas unidades de tempo e medida de ângulos.
Aos babilônios se deve a invenção do sistema posicional. Com apenas seus símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer número, por maior que fosse, por repetição e mudança de posição. Este é o mesmo princípio de nosso sistema numeral.
Já manipulavam bem, equações usando palavras como incógnitas, num sentido abstrato. Conheciam bem o processo de fatoração. Também conheciam as relações entre os lados de um triângulo retângulo e trigonometria básica, conforme descrito na tábua “Plimpton 322”.
Algum desenvolvimento geométrico pode ser constatado com tabuletas que indicavam relações entre os lados de um triângulo. Apesar de não se poder ter certeza, acredita-se que os Mesopotâmicos conheciam também as fórmulas gerais de progressão geométrica e a soma dos n primeiros quadrados perfeitos. No entanto, como nos papiros egípcios, as tabuletas Mesopotâmicas não descreviam os procedimentos mas apenas davam as questões e os resultados.
Eles tinham técnicas para equações quadráticas e bi-quadráticas, além de possuírem fórmulas para áreas de figuras retilíneas simples e fórmulas para o cálculo do volume de sólidos simples. Sua geometria tinha suporte algébrico.
Os babilônios, a principio, parecem não ter tido um modo de representar o vazio (zero). Não havia notação para zero, embora às vezes deixassem um espaço em branco para indicar zero. Isso confundia as formas escritas para alguns números como 22 e 202. Criou-se, mais tarde, um símbolo para zero, mas que só era usado em posições intermediárias.
As aplicações da Matemática e da Geometria Mesopotâmica
Como este símbolo não era de uso freqüente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambigüidades.
Nosso sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional de base 10. Ele é preciso e não apresenta ambigüidades, justamente porque temos o símbolo 0 (zero) para representar ausência de uma casa.
A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos.
Observa-se que os mesopotâmicos começaram a calcular da direita para esquerda, ou seja, o primeiro grupo de símbolos representam as unidades, o segundo grupo representa as dezenas, depois seriam as centenas e assim por diante. Um outro fato curioso é que, retirando o grupo das unidades, os demais grupos são multiplicados pelo fator 60, onde as dezenas apenas por 60, as centenas por 60 ao quadrado, e assim continuaria, aumentando-se as casas aumentam-se os expoentes. Este tipo de cálculo deixa bem claro que os sumérios já conheciam e utilizavam as potências quadradas e cúbicas.
Algumas tábuas mostram que os mesopotâmicos chegaram a resolver equações do 2. º e 3. º graus, usando palavras como incógnitas num sentido abstrato e conheciam bem o processo de fatoração. Não só resolviam as equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao da substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, como também discutiam algumas cúbicas e algumas biquadradas.
Acredita-se que os povos mesopotâmicos dominavam também as fórmulas de progressões geométricas. Seus desenvolvimentos podem ser constatados em tabuletas que indicavam relações entre os lados de um triângulo. Porém, essas tabuletas mostram apenas as questões e os resultados.
Da matemática mesopotâmica constata-se também a familiarização com as regras gerais de cálculo da área do retângulo, do triângulo retângulo e isóscele, de um trapézio retângulo e, do volume de um paralelepípedo e mais, geralmente do volume de um prisma reto de base trapezional.
Tinham também uma fórmula para calcular o perímetro da circunferência a que equivale. Conheciam o volume de um tronco de cone e de um tronco de pirâmide quadrangular regular. Sabiam que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais. Utilizavam-se de uma ‘corda com 13 nós’ de forma a que o espaço entre eles fosse igual, isto é, a corda media 12 unidades, sendo cada unidade o espaço entre dois nós consecutivos, para construir um triângulo retângulo, mas não sabiam expressar teoricamente esse conhecimento.
Essa técnica foi divulgada por Pitágoras, em 560 a.C. após ter realizado várias viagens à Mesopotâmia, cujo saber havia fascinado Tales, onde estudou geometria com sacerdotes, vindo a ter contato com o método da ‘corda de 13 nós’. Com base nesta técnica desenvolveu o que hoje conhecemos como Teorema de Pitágoras ‘num triângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos’. Pitágoras não só se satisfez com a generalização da propriedade a que chegou, como também se preocupou com a sua demonstração, ou seja, em provar que essa regra se aplicava a todos os triângulos retângulos.
Uma das características mais relevantes da matemática suméria era o uso do sistema de numeração posicional. Isto possibilitava o cálculo do valor numérico de grandezas geométricas com uma precisão admirável para a época.
Partidas Dobradas e Conhecimento Matemático
Os mesopotâmicos também representavam a natureza dos seres através da matemática, ou seja, os números pares eram considerados seres femininos e os ímpares, masculinos. Até mesmo na grafia estava presente a dualidades das coisas, o que se pode verificar claramente no símbolo utilizado para representar o infinito. Esse símbolo representa a união de dois círculos, onde um deles representa o mundo material e o outro o mundo imaterial, em outras palavras, o infinito significa graficamente a união dos dois mundos.
CONCLUSÃO
Concluímos que a matemática desenvolveu–se a partir das necessidades que surgiam no dia a dia. A matemática na Mesopotâmia surgiu como com o objetivo de facilitar o cálculo do calendário, a administração das colheitas, organização de obras públicas e a cobrança de impostos, bem como seus registros.
O sistema de numeração mesopotâmico contribuiu para o desenvolvimento do processo de navegação e projetos de irrigação, desenvolvendo assim, uma engenharia bem rudimentar.
Conseqüentemente, houve a criação de uma astronomia primitiva, que tinha como objetivo previsionar as possíveis cheias e vazantes dos rios, mesmo que estes períodos não fossem regulares como os do rio Nilo no Egito.
O fato dos babilônicos estarem no que era tido como centro do mundo até então, propiciou muito contato com outros povos. Estes tiveram grande importância no desenvolvimento da matemática de um povo que teve um papel essencial na história: os Gregos. Graças a este contato com o povo Grego, a matemática se propagou até os nossos dias.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA & WEBIBLIOGRAFIA:
Ifrah, Georges. Os Números: A História de uma Grande Invenção.Tradução Stella M. de Freitas Senra. Rio de Janeiro: Globo, 1989.
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